DİZİLER
A. TANIM
Tanım kümesi pozitif tam
sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.
fonksiyonununda,
olduğuna göre,
biçiminde yazılabilir.
f fonksiyonu (dizisi)
genel olarak,
biçiminde veya kısaca (an)
biçiminde gösterilir.
a1, dizinin
1. terimi (ilk terimi);
a2, dizinin
2. terimi;
a3, dizinin
3. terimi;
...
an, dizinin
n. terimi (genel terimi) dir.
Uyarı
1. Genel terimi
belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer
kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel
sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.
|
B. SONLU DİZİ
Tanım kümesi Ak olan dizilere sonlu dizi denir.
C. SABİT DİZİ
Bütün terimleri
birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.
D. EŞİT DİZİ
Her n pozitif tam sayısı
için,
an = bn
ise, (an) ve
(bn) dizilerine eşit diziler denir.
E. DİZİLERLE YAPILAN
İŞLEMLER
(an) ve (bn)
birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,
F. MONOTON DİZİLER
Genel terimi an olan bir dizide eğer her
için,
Uyarı
dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir:
1. Paydanın kökü
(cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.
Bu durumda,
a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.
b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.
c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir.
2. Paydanın kökü
(cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.
|
G. ALT DİZİ
Bir (an)
dizisi verilmiş olsun.
(kn) artan
bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere,
dizisine (an) dizisinin alt
dizisi denir ve
biçiminde gösterilir.
H. DİZİLERİN
YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI
1. Komşuluk
a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,
açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.
Bu aralığı (kümeyi) T
ile gösterirsek,
olur.
T kümesi sayı doğrusunda
aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Uyarı
1. (an)
dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,
eşitsizliğini sağlar.
2. (an) dizisinin, a
nın e komşuluğu dışındaki terimleri,
eşitsizliğini sağlar.
|
I. YAKINSAK DİZİLER ve
IRAKSAK DİZİLER
(an) bir reel
sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.
Her e pozitif reel sayısı için, (an) dizisinin
hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda
bulunuyorsa, (an) dizisi a ya yakınsıyor denir.
(an) dizisi a
sayısına yakınsıyorsa; (an) dizisine yakınsak dizi denir.
Yakınsak olmayan
dizilere ıraksak diziler denir.
J. DİZİLERİN LİMİTİ
1. Limitin Tanımı
(an) bir reel
sayı dizisi olsun.
(an) dizisi
sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (an) dizisinin
limiti denir.
lim(an) = a ya da (an) ® a
biçiminde gösterilir.
Kural
1. (an)
dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel
sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir.
2. Bir dizinin limiti varsa bir
tanedir.
3.
olmak üzere, (an) = (c) ise,
lim(an) = lim(c) = c dir.
(Her sabit dizi yakınsaktır.)
|
2. Limitle İlgili Özellikler
Kural
(an) ve (bn) birer
dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,
|
K. GENİŞLETİLMİŞ REEL
SAYILAR KÜMESİ
Reel sayılar kümesine,
artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının
katılmasıyla elde edilen
[–¥, +¥]
aralığına (kümesine)
genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.
1. Iraksak Diziler
Kural
1. Her K reel sayısı için, (an)
dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda
ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an)
dizisi (+¥) a ıraksar denir.
2. Her K reel sayısı için, (an)
dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda
ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an)
dizisi (–¥) a ıraksar denir.
3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere
ıraksak diziler denir.
|
2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler
Kural
Dizilerin limitleri bulunurken elde
edilen,
ifadeleri belirsizdir.
|
Kural
Kural
Kural
(an) bir dizi; c bir reel
sayı olmak üzere,
|
Kural
(an) bir dizi olmak üzere,
|
Uyarı
(1n) sabit dizisi ile
dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.
|
Uyarı
Genel terimi rasyonel kesir olan
dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.
|
Kural
Kural
(an) pozitif terimli bir dizi
olsun.
|
3. Belirsizlik Durumları
a.
Belirsizliği
Bu tür belirsizlikleri
daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.
b. 0 . ¥ Belirsizliği
Bu tür belirsizlikler,
belirsizliğine dönüştürülerek limit
bulunur.
c. ¥ – ¥ Belirsizliği
¥ – ¥ tipindeki
belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.
Kural
Bu belirsizliği
ortadan kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve paydası
ifadesiyle genişletilir.
|
Uyarı
dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.
dizisinde belirsizlik söz konusu
değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.
(+¥) + (+¥) = +¥
olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.
|
Kural
a > 0 olmak üzere,
olur.
|
L. SINIRLI DİZİLER
1. Üst Sınır
Her
için, an £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an)
dizisine üstten sınırlıdır denir.
M sayısı da bu dizinin
üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayı da (an) dizisinin
üst sınırıdır.
Üstten sınırlı bir
dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs)
denir.
(an)
dizisinin Eküs ü, Eküs(an) biçiminde gösterilir.
2. Alt Sınır
Her
için, m £ an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an)
dizisine alttan sınırlıdır denir.
m sayısı da bu dizinin
alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (an) dizisinin
alt sınırıdır.
Alttan sınırlı bir
dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas)
denir.
(an)
dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde gösterilir.
3. Sınırlı Diziler
Hem alttan hem de üstten
sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.
Uyarı
1. Sınırlı bir
dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.
2. Monoton bir dizinin yakınsak
olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır.
3. Yakınsak her
dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.
4. Monoton ve
yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük
olanı Ebas tır.
|
2. Alt Sınır
Her
için, m £ an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an)
dizisine alttan sınırlıdır denir.
m sayısı da bu dizinin
alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (an) dizisinin
alt sınırıdır.
Alttan sınırlı bir
dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas)
denir.
(an)
dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde gösterilir.
3. Sınırlı Diziler
Hem alttan hem de üstten
sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.
Uyarı
1. Sınırlı bir
dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.
2. Monoton bir dizinin yakınsak
olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır.
3. Yakınsak her
dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.
4. Monoton ve
yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük
olanı Ebas tır.
|
SORULAR VE CEVAPLAR
3-
4-
5-
6-
7-
8-
9-
10-
11-
35-
Bir geometrik dizinin ilk terimi 243 ve ortak çarpanı 1/3 olduğuna göre,7 nci terimi nedir?a1=243 =35
r=1/3
a7=?
a7=a1.r6
= 35.3-6
= 3-1
a7=1/3
36-
a+2,2a+1,3a+4 sayılarının bir geometrik dizinin ardışık terimleri olduğuna göre,a sayısı nedir?
(2a+1)2=(a+2).(3a+4)
4a2+4a+1=3a2+10a+8
a2-6a-7=(a-7)(a+1)=0
a=7
37-
1/4 ile 16 sayıları arasına 5 terimin yerleştirilmesiyle oluşturulan geometrik dizide 5.terim kaçtır?
1/4, a2, a3, a4, a5, a6, 16
a7=16 , a1=1/4 ise a5=?
24=2-2 . r6
r=2
a5=a1.r4
=2-2 . 24
=22
a=4
38-
1/2 ile 1/64 terimleri arasına geometrik dizi oluşturulacak biçimde dört terim yerleştiriliyor.
bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?
1/2,a2,a3,a4,a5,1/64
2-6=2-1.r5
r=2-1 = ½
39-
ilk terimi 3 olan bir geometrik dizinin ortak çarpanı 2 dir.
buna göre,bu dizinin kaçıncı terimi 192 dir?
a1=3 r=2 an=192 ise n=?
192=3.2(n-1)
2(n-1)=64=26 n=7
40-
3, 7/2, 4, 9/2, 5,..... aritmetik dizisinin baştan kaç teriminin toplamı 1098 dir?
Sn=1098
7/2-3=r=1/2
Sn=n/2.[2a1 + (n-1)r]
n/2.[6 + 1/2.(n-1)]=1098
6n+n(n-1)/2 =2196
12n + n2 -n =4392
n2+11n=4392
n=61
41-
dizisi bir aritmetik dizi midir? Öyleyse, ortak farkı kaçtır?
Eger aritmetik diziyse ardısık terimleri arasındaki fark sabit bir sayı olmalı, devamlı degismemeli.
Yanılmamak için 2’nci ve 1’inci terimin arasındaki farkla, 4’üncü ve 3’üncü terimler arasındaki farkları kıyaslamak yerine (n + 1)’inci ve n’ninci terimler arasındaki farka bakalım:
yani sabit oldugundan dizi aritmetik olup, ortak farkı 3’dür.
42-
dizilerinden hangisi veya hangileri bir aritmetik dizidir?
a ve b birer reel sayı olmak üzere cn = an + b genel terimine sahip her (cn ) dizisi aritmetiktir.
farkını hesaplayanlar cevabın her zaman a çıkacagını göreceklerdir. Bundan
dolayı aritmetik dizidir.
Hatta ortak farklar da sırasıyla
Fakat (cn) aritmetik dizi degildir. Çünkü a2 – a1 ile a3 – a2 farkları esit degildir.
43-
¬İlk terimi a1 = 3, ortak farkı d = 2 olan bir aritmetik dizinin besinci terimini ve genel terimini bulunuz.
soruluyor. Bunların formüllerini yukarda çıkarmıstık
ve
44-
k terimi a1 = -2, ortak farkı
Olan bir aritmetik dizinin 12’nci terimini bulunuz.
45-
lk terimi 2, ortak farkı
olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3’tür?
Diyelim ki t’ninci terimi 3. O halde
esitligi çözülürse t = 5 bulunur.
46-
Üçüncü terimi a3 = 1, ortak farkı
olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 5’tir?
Yine t’ninci terim olsun. O halde
esitligi çözülürse t = 15 bulunur.
47-
¬llk terimi –3, son terimi –91 ve ortak farkı -4 olan sonlu aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır?
Bunu sayılar dersinde ögrendigimiz terim sayısı formülünden de yapabiliriz ama oradan yapmayacagız.
Dizimiz n terimli olsun. O halde olur.
denklemi çözülürse n = 23 bulunur.
48-
14 ve 50 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi olusturacak biçimde 11 terim daha yerlestirilirse bu dizinin 9’uncu terimi kaç olur?
2 terim hali hazırda vardı, 11 terim daha geldi, etti 13 terim. O halde son durumda a1 =14 ve a13 = 50 oldu.
esitliginden 12d = 36 yani d = 13 bulunur.
Simdi sıra 9’uncu terimde
49-
8 ile 50 sayıları arasına, bu sayılarla aritmetik dizi olusturacak sekilde 62 terim yerlestirilirse, bu dizinin 19’uncu terimi kaç olur?
Var olan 2 terime 62 terim geldi ve dizimiz 64 terimli oldu. Su halde
esitliginden
bulunur.
Şimdi 19’uncu terimi hesaplayalım:
50-
Bir aritmetik dizide
İse a19 kaçtır?
26 12 a − a = (26 −12)d =14d oldugunu biliyoruz.
Degerleri yerlerine yazarak d’yi bulalım:
79 – 9 = 70 = 14d esitliginden d = 5 bulunur.
O halde
olur.
51-
Besinci terimi 17, 23’üncü terimi 47 olan bir aritmetik dizinin 14’üncü terimi kaçtır?
14’üncü terimin 5’inci ve 23’üncü terimlere uzaklıkları esit oldugundan,
olmalıdır ki buradan a14 = 32 bulunur.
52-
(an) bir aritmetik dizi,
ise a21 kaçtır?
16’ıncı terimin 11 ve 21’inci terimlere uzaklıkları esit oldugundan yine aritmetik ortadan faydalanacagız.
53-
(an) n a bir aritmetik dizi,
ise a17 kaçtır?
54-
2, loga 3, 8 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık üç terimiyse a kaçtır?
loga 3 = 5 olmalı. O halde
55-
5, a, b, c, 13 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık bes terimiyse a + b + c toplamı kaçtır?
5 + 13 = a + c = 2b oldugundan a + c = 18 ve b = 9 olur. O halde cevap 27.
56-
olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir?
Genel terim demek n’ninci terim demek oldugundan ve elimizde 5’inci terim oldugundan ikisi arasında bir baglantı (bilgi yelpazesi.net) kuracagız.
57-
olan bir aritmetik dizide a8 kaçtır?
2’dir.
58-
Bir (an) dizisinde
için
ise a9 kaçtır?
59-
6 + 11 + 16 + … + 116 + 121 toplamı, bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı ise bu toplam kaçtır?
60-
Genel terimi
olan bir aritmetik dizinin ilk 21 teriminin toplamı kaçtır?
Genel terim belli oldugundan a1 ve d’yi biliyoruz demektir, o halde ne duruyoruz?
61-
Birinci terimi 8, ikinci terimi
62-
¬lk terimi
ve ilk 18 teriminin toplamı 23 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
63-
10 terimli bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamı 20, son ve ilk terimlerinin farkı 8 ise bu aritmetik dizinin genel terimini bulunuz.
64-
Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı
ise bu dizinin 8’inci terimi kaçtır?
İlk 8 terimin toplamından, ilk 7 terimin toplamını çıkartacagız.
65-
Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı
ise a15 kaçtır?
Bu sefer ilk 15 terim toplamından ilk 14 terim toplamını çıkartacagız.
66-
Bir aritmetik dizide 42’nci terim 101, 30’uncu terim 61 ise bu dizinin ilk 71 teriminin toplamı kaçtır?
67-
Bir aritmetik dizide 29’uncu terim 37, 17’nci terim 15 ise bu dizide S45 kaçtır?
Bir öncekiyle benzer soru oldugundan çözümü de bir öncekiyle benzer olacak.
68-
Bir ögrenci ilk gün bir kitaptan 10 sayfa okuyor. Diger günler ise bir önceki gün okudugundan
5 sayfa fazla okuyor. Bu (bilgi yelpazesi.net) ögrenci, onuncu günün sonunda toplam kaç sayfa okumus olur?
Her gün okudugu sayfa sayısındaki artıs miktarı sabit oldugundan, ilk günden itibaren her gün okunan sayfa sayıları bir aritmetik dizi olustururlar.
O halde
kaçtır diye algılamamız lazım soruyu.
69-
Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildeyse, ortanca açının ölçüsü kaç derecedir?
70-
Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildedir. En küçük ölçüye sahip açının ölçüsü 800 ise en büyük ölçüye sahip olanın ölçüsü kaç derecedir?
Açı ölçülerini tekrar yukardaki gibi adlandıralım.
Ortanca yani a3 daima 1080 olacagından
ve
71- İlk terimi 4, ortak farkı 5 ve son terimi 64 olan bir aritmetik dizinin terim sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A)10 11 C) 12
D) 13 E) 14
Cevap:D
72. İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5 inci terimi aşağıdaki sayılardan hangisidir?
A) 30 48 C) 75
D) 96 E) 486
Cevap:B
73. Bir aritmetik dizide ilk terimi 1, ilk 15 teriminin toplamı ile ilk 10 terimin toplamı farkı 185 olduğuna göre bu dizinin ortak farkı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:E
74. denkleminde köklerin birer tam sayı olduğu ve ayrıca aritmetik bir dizi meydana getirdiği bilindiğine göre m, en küçük kökün kaç katıdır?
A) 5 8 C) 10
D) 12 E) 14
Cevap:D
75. Dördüncü terimi 1, yedinci terimi
olan bir geometrik dizinin, yirminci terimi kaç
olur?
Cevap:B
76. Bir geometrik dizinin ilk terimi a, ortak çarpanı 2, n inci terimi b dir.
Bu dizinin, ilk n terim toplamının a ve b ye bağlı olarak ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) b-2a b+a-1 C) b-a+1
D) b-a E) 2b-a
Cevap:E
77. da tanımlı, genel terimi olan bir dizide in kaç katıdır?
Cevap:B
78. denkleminin kökleri bir aritmetik dizi olduğuna göre ortanca kökün değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:B
79.
olduğuna göre kaçtır?
Cevap:A
80. Dışbükey bir dörtgende açılar bir aritmetik dizinin ardışık dört terimidir.
En küçük açı olduğuna (bilgi yelpazesi.net) göre, en büyüğü kaç derecedir?
A) 160 155 C) 150
D) 145 E) 140
Cevap:C
81. Bir dizinin genel terimi
dir.
olduğuna göre kaçtır?
Cevap:E
82. Bir aritmetik dizinin 8. terimi a olduğuna göre 2. ve 14. terimin toplamı nedir?
Cevap:B
83. Bir geometrik dizinin ilk terimi
, ikinci terimi 3 olduğuna göre, altıncı terimi kaçtır?
A) 28 30 C) 32
D) 39 E) 48
Cevap:E
84. Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x-2, x+1, x+5 olduğuna göre, x kaçtır?
A) –11 –10 C) 2
D) 10 E) 11
Cevap:E
85. Bir geometrik dizinin ilk altı teriminin toplamının, ilk üç teriminin toplamına oranı
dır. Bu dizinin r ortak oranı kaçtır?
Cevap:B
86. Yaşları toplamı 48 olan 6 kardeşin yaş-ları toplamı aritmetik dizi oluşturmaktadır.
En küçük kardeş 3 yaşında olduğuna göre, en büyük kardeşin yaşı kaçtır?
A) 9 13 C) 14
D) 15 E) 17
Cevap:B
87. Bir geometrik dizinin ilk 3 terimi (a-3) , (2a-3) ve (4a+3) tür.
Buna göre bu dizinin 5. terimi kaçtır?
A) 45 54 C) 63
D) 81 E) 243
Cevap:E
88.
dizisi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Limiti 0 dır Iraksaktır C) Yakınsaktır
D) Limiti 1/2 dir E) Limiti yoktur
Cevap:C
89. Aşağıdaki dizilerden hangisi yakınsaktır?
Cevap:D
90 . pozitif terimli yakınsak bir dizinin genel terimi ve ise, nin limiti nedir?
Cevap:D
91. a+d, 2ad, ad² dizisinin, hem aritmetik hem geometrik dizi olabilmesi için, a nın değeri ne olmalıdır?
Cevap:E
92.
biçiminde tanımlanan dizisinin limiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:B
93-
94-
3. terim: 3 / 3.3-1 = 3 / 8 ( 3 tek olduğundan )
4. terim: 3.4 – 1 = 11 ( 4 çift olduğundan )
7. terim: 3 / 3.7-1 =3 / 20 (7 tek olduğundan )
95-
96-( n2-8n+1 /n+2) dizisinin kaç terimi 1/2, den küçüktür?
n2-8n+1 / n+2 < 1/2
n2-8n+1 < n+2 / 2
2n2-16n+2 < n+2
2n2 < 17n
n < 17 / 2
n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Yani 8 terimi vardır.
97-
(a2n+1) = ( 5n+7 / 4n+3 ) ise (an) dizisini bulunuz?
2n+1 = k
n = k-1 / 2
( ak ) = ( (5k-5 / 2)+7 ) / (2k-2+3)
( ak ) =5k+9 / 4k+2
olarak bulunur. k yerine n yazarsak
( an ) =5n+9 / 4n+2
olur.
98-
( an ) = ( 5n / n+1 ) ve ( bn ) = ( 7 / 2n+2 ) ise ( an ) / ( bn ) işleminin sonucunu bulunuz?
( an ) / ( bn ) = ( an / bn ) = ( (5n / n+1).( 2n+2 / 7 )) =10n / 7
99-
( an ) = ( 1,2,3,4,…,n )
( bn ) = ( 2,4,6,8,…,2n)
( an ) - ( bn ) işleminin sonucunu bulunuz?
( an ) - ( bn ) = ( an - bn ) =(1-2, 2-4, 3-6, 4-8, …, n-2n ) = (-1,-2,…,-n)
100-
( 7n+9 / 5n+ 1 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?
a=7
b=9
c=5
d=1
-d/c = -1/5 < 0 olduğundan dizi monotondur.
ad-bc = 7.1-9.5 = -38 < 0 olduğundan dizi monoton azalandır.
101-
( n+5 / n+9 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?
an+1 - an
= ( n+1+5 / n+1+9 ) - ( n+5 / n+9 )
= n+6 / n+10 - n+5 / n+9
=[(n+6)(n+9) – (n+5)(n+10)] / (n+10)(n+9)
=n2+15n+54-n2-15n-50 / (n+10)(n+9)
=4 / (n+10)(n+9) >0
an+1 - an > 0
an+1 > an olduğundan monoton artandır.
102-
(an) = (2n2+1) dizisinin terimlerini yazarak a ıraksadığını gösteriniz?
(2n2+1) = (3, 9, 19, 33, 51, 73, …, )
terimlerine dikkat edilecek olursa sürekli arttığı görülmektedir ve a ıraksamaktadır. Bunu lim(2n2+1) = şeklinde gösterebiliriz.
103-
( 9n+7 / 8n-5 ) dizisinin limitini bulunuz?
104-
(an) = 23n+2 / n+5 dizisinin limitini bulunuz?
olduğuna göre dizilerde limit işlemlerinin özelliklerinden lim da görüldüğü gibi;
lim (an) = lim (23n+2 / n+5) = 23 = 8 dir.
105-
genel terimi ile verilen an dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz?
(an) dizisinin diğer alt dizileri ise ya ıraksak olur yada bu üç terimden birine yakınsar.
olduğundan dolayı dizi ıraksaktır.
106-
107-
(an) dizisinin bütün terimleri [1,3) aralığında olduğu için (an) dizisi sınırlıdır.
EBAS(an)=1
EKÜS(an)=3 dür.
108-Birinci terimi 5 ve ikinci terimi 8 olan aritmetik dizinin genel terimini bulunuz ve ilk 9 teriminin toplamını hesaplayınız?
a1=5
a2=8
r=8-5=3
an=a1+(n-1)r=5+(n-1)3
dizinin genel terimi yukarıdaki gibi bulunmuş olur.
Sn=n(a1+an)/2
S9=9(5+(5+8.3))/2
S9=9(34)/2
S9=17.9=153
İlk 9 terimininde böylece toplamını bulmuş olduk.
109-Bir aritmetik dizinin a. terimi b, b. terimi a ise 4. terimi nedir?
aa=b ve ab=a ise r=( aa-ab)/(a-b)=(b-a)/(a-b)=-1=(a4-b)/(4-a)
a4-b=-4+a ise a4=a-b-4 olarak bulunur.
110-
İlk üç terimi sırasıyla 1, p-2, 16 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?
(p-2)2=1.16
p-2=4
p=6
r=a2/a1=4/1=4
an= a1r(n-1)
a5= a1r(5-1)=1.4(4)=256
